Probabilidad

Hablamos ya hace un tiempo de las micromuertes. Ahora toca traer a la atención de mis lectores un concepto asociado, el de las microvidas.

Una microvida corresponde a una esperanza de vida de media hora. Malgasta una microvida quien fuma dos cigarros, bebe siete unidades de alcohol (equivalentes a  un litro de cerveza) o vive un día con un sobrepeso de 5 kg.

Microvidas y micromuertes son conceptos análogos, pero no enteramente equivalentes. Ambos nos ayudan a cuantificar pequeños riesgos. Sin embargo, el efecto de las microvidas es acumulativo mientras que el de las micromuertes no: quien haya terminado vivo su sesión de parapente, habrá puesto a cero su contador de micromuertes, pero no así quien haya fumado su segundo cigarro.

Tal como prometí hace ahora una semana, voy a añadir las palabras que faltaban en aquella entrada. Pero primero, imaginad un bar en el que se venden cafés y cervezas. El coste de servir un café es de 1.10 euros pero se vende por 1. El coste de servir una cerveza es 1.30 euros pero se vende por 1.10. Entran los clientes y piden o café o cerveza. ¡Y resulta que a fin de mes el bar hace dinero!

Debo esta entrada a la diligencia de Juanjo Gibaja, que se tomó la molestia de ubicar los teoremas relevantes en el libro Simulation and the Monte Carlo Method de Rubinstein y Kroese.

Esencialmente, como la distribución normal multivariante (con matriz de covarianzas I) es simétrica, entonces, dadas $X_1,\dots, X_m \sim N( 0, I_n )$ independientes, los m puntos del espacion n-dimensional $X_i/| X_i |$ siguen una distribución uniforme sobre su esfera (su superficie, vale la pena reiterar) unidad.

Hoy voy a hacer mención a una cosa prodigiosa. Pero sin palabras. Voy a regalar a mis lectores tres pedazos de código que son este

jugar <- function( n, make.step ){
  tmp <- rep( 0L, n)
  for( i in 2:n )
    tmp[i] <- make.step( tmp[i-1] )
  tmp
}

juego.s <- function( x, prob.perder = 0.51 ){
  x + ifelse( runif(1) < prob.perder, -1L, 1L )
}

res.juego.s <- replicate( 1000, jugar( 1000, juego.s )[1000] )
hist( res.juego.s )
fivenum( res.juego.s )

este

juego.c <- function( x ){
  prob.perder <- ifelse( x %% 3 == 0, 0.905, 0.255 )
  juego.s( x, prob.perder )
}

res.juego.c <- replicate( 1000, jugar( 1000, juego.c )[1000] )

hist( res.juego.c )
fivenum( res.juego.c )

y este otro

Tenía guardado un enlace de un artículo del periódico sobre curiosidades de la lotería. Describe dos hechos curiosos:

• Que la terminación más repetida, el 5, ha aparecido 32 ocasiones en 201 gordos (se ve que ha habido 200 sorteos, pero un año hubo, cosas de la vida, dos gordos).
• Que dos números, el 15640 y el 20297 han sido gordos en dos ocasiones.

Una pregunta, pues, para mis lectores: ¿qué es más improbable, que la terminación más frecuente haya ocurrido en 32 (o más) ocasiones o que haya habido dos (o más) gordos repetidos?

Como es viernes, propongo un problema de probabilidad. Es el siguiente:

En un curso de inglés elemental hay 5 alumnos y 4 alumnas. En el intermedio, 7 y 3. En el avanzado, 4 y 4. Se promociona a un alumno (uso el masculino aquí genéricamente) del elemental a intermedio. Se elige luego a un alumno (uso genérico del masculino, de nuevo) del intermedio y resulta ser un hombre. ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno promocionado fuese también hombre?

Puedes probar prácticamente cualquier cosa. Con paciencia, claro. Por ejemplo, coge una moneda de tu bolsillo. Puedes probar que tiene un sesgo: salen más caras (o cruces, da igual) de lo que cabría esperar.

No lo vas a probar como los gañanes, no. Lo vas a probar usando los mismos métodos con los que se aprueban los medicamentos u otras verdades relevantísimas: mostrando al mundo un p-valor pequeñajo, por debajo de 0.05. Veamos cómo.

De acuerdo con una observación de Zipf (y supongo que de muchos otros y que no hay que confundir con su ley), la longitud de las palabras más corrientes es menor que las que se usan menos frecuentemente.

Un estudio reciente, Word lengths are optimized for efficient communication, matiza esa observación: la cantidad de información contenida en una palabra predice mejor la longitud de las palabras que la frecuencia de aparición pura. En una comparación entre diversos idiomas europeos, parece manifestarse que palabras que aportan poca información son breves; las que aportan mucha, más largas.

Tengo un amigo físico que trabaja supervisando el funcionamiento una máquina de radioterapia. Se dedica, esencialmente, a achicharrar células cancerígenas con chorros de radioactividad. Me contaba recientemente cómo hay pacientes que responden positivamente y cómo con otros con un perfil similar, aun sometidos a dosis de radioactividad muy superiores, no hay forma humana de hacer que el tumor remita. Este y muchos otros casos análogos hacen pensar a la comunidad médica que no hay enfermedades sino enfermos y que los remedios que bien valen para uno, pueden no valer para otro.

El otro día apareció publicado en Significance una comparación entre el número de tarjetas recibidas por las selecciones inglesas de fútbol masculina y femenina.

Los hombres habían recibido 196 tarjetas en los 48 partidos disputados en el periodo de referencia y las mujeres, 40 en 24 partidos. El promedio de tarjetas, por lo tanto, de 4.1 y 1.7 respectivamente. Y la pregunta es: ¿hay motivos razonables para pensar que las mujeres juegan menos sucio?