Debo esta entrada a la diligencia de Juanjo Gibaja, que se tomó la molestia de ubicar los teoremas relevantes en el libro Simulation and the Monte Carlo Method de Rubinstein y Kroese.
Esencialmente, como la distribución normal multivariante (con matriz de covarianzas I
) es simétrica, entonces, dadas independientes, los
m
puntos del espacion n
-dimensional siguen una distribución uniforme sobre su esfera (su superficie, vale la pena reiterar) unidad.
Para muestrear la bola n
-dimensional, hay que muestrear primero la esfera (como en el párrafo anterior) y luego generar m
variables aletorias con la distribución uniforme. La muestra en la esfera unidad será entonces $U_i^{1/n} X_i/\| X_i \|$.
Efectivamente, proporciona la dirección. Y en cuanto a la distancia con respecto al centro hay que tener encuenta que la bola de radio r < 1 contiene sólo un [latex]r^n[/latex] del volumen de la bola unidad. Como [latex]P( U_i < r ) = r[/latex], entonces [latex]P( U^{1/n} < r ) = P( U < r^n ) = r^n[/latex].
En R,
Y si alguien quiere ver las rodajas de una distribución uniforme sobre la esfera 5-dimensional, por ejemplo, puede ejecutar
¿Le sugiere el gráfico (p.e., los rangos de las proyecciones sobre los distintos ejes) algún comentario?