Probabilidad

Las funciones de densidad log-cóncavas son aquellas cuyo logaritmo es una función cóncava. Por ejemplo, la normal: el logaritmo de su función de densidad es, constantes aparte, $-x^2/2$.

El producto de dos funciones de densidad log-cóncavas es log-cóncava: $\log(fg) = \log f + \log g$ (y la suma de cóncavas es cóncava: calcula la segunda derivada). También lo son la suma de dos variables aleatorias cuyas funciones de densidad lo son (la demostración es consecuencia de esta desigualdad).

Imaginemos que queremos muestrear una variable aleatoria cuya función de densidad es (proporcional a) el producto de otras dos (no necesariamente propias). Por ejemplo, la gamma, cuya función de densidad es $K x^{k-1} \exp(-\lambda x)$, el producto de una exponencial y una distribución impropia con densidad $x^{k-1}$.

Supongamos que no sabemos hacer

set.seed(1234)
shape <- 3
rate  <- 3
m0 <- rgamma(1000, shape = shape, rate = rate)

Pero supongamos que sí que sabemos muestrear la distribución exponencial, lo que permite escribir:

Son lenguajes de programación diseñados para describir modelos probabilísticos y realizar inferencias ellos.

El resto de la entrada de la Wikipedia sobre este apasionante (y lo uso sin retintín) tema, aquí (y puede que también quieras visitar esto).

Por afición y, últimamente, por motivos laborales también, me ha preocupado cómo se refleja la incertidumbre en el lenguaje y cómo este sirve para transmitir aquella (véase, por ejemplo, esto).

En el español tenemos algunos recursos para manifestar grados de certidumbre (el condicional, el subjuntivo, etc.). Véanse por ejemplo (esta es la referencia) a los 570 sufridos hablantes del tuyuca que no pueden decir simplemente “él jugaba al fútbol”, sino que tienen que elegir obligatoriamente entre los diferentes sufijos verbales que (además de indicar la persona y el tiempo) indican el modo por el cual el hablante obtuvo el conocimiento que afirma en el enunciado:

El problema en cuestión, que se ve, surgió durante la II Guerra Mundial, es el siguiente: se capturan tanques del enemigo y se anotan los números de serie, supuestos sucesivos. ¿Cuál es la mejor estimación del número total de tanques fabricados por el enemigo?

Si se capturan k, la distribución del máximo número observado, m, en función del número no observado (nuestro parámetro) de tanques es

$$ f(N;m,k)=\frac{\binom{m-1}{k-1}}{\binom{N}{k}}$$

y como esta función es decreciente en $N$, la estimación por máxima verosimilitud es $\hat{N} = m$.

Queremos calentar unas empanadas en el horno y, ¡oh desgracia!, no funciona. Pueden pasar dos cosas (independientes entre sí):

• El horno está estropeado ($A$)
• El horno está desenchufado ($B$)

Hemos observado el evento $A \cup B$ y nos preocupa mucho $P(A | A \cup B)$, es decir, que tengamos que llamar al técnico y comernos frías las empanadas a la vista de que el horno no responde.

Sin embargo, observamos rápidamente $B$: que habíamos desenchufado el horno. Luego, de repente, nos encontramos ante el cálculo de $P(A | B, A \cup B)$. Dicho de otra manera, evaluar la probabilidad de que el horno esté estropeado a la vista de que:

El otro día medio participé en una conversación en Twitter sobre el significado de los odds. Recientemente leí una entrada en la bitácora de un holandés que se quejaba de lo difícil que resulta encontrar un equivalente de esa palabra a su idioma. Pasa lo mismo en español: no existe una traducción directa; no existe, siquiera, el concepto.

Sugiero traducir odds, y lo haré así a lo largo de la entrada, como probabilidades. Al igual que una temperatura puede expresarse en distintas escalas y medidas (Kelvin, Celsius, Fahrenheit), una misma probabilidad puede expresarse de distintas maneras. Estamos acostumbrados a representarlas como fracciones de la unidad, p.e., 0.25; pero esa misma probabilidad puede expresarse también como 3:1.

Tiras tres monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres valores (cara o cruz) iguales? Es, lo sabemos todos, 0.25: de las ocho opciones posibles, solo dos cumplen.

Ahora, el argumento falaz —dizque de Francis Galton— que prueba que dicha probabilidad es de 0.5. Es así: de las tres monedas, dos tienen que coincidir necesariamente en valor; entonces la tercera, con probabilidad 0.5, coincidirá con los anteriores y con la misma discrepará.

Suponemos que observamos rachas de longitud 2 + rpois(1, 10) de un juego en el que se tiene éxito (1) o se fracasa (0) con probabilidad 1/2. Nos interesa saber si existe eso de las rachas de suerte, es decir, si es más probable que a un éxito le suceda otro o lo contrario.

El observador ve rachas y calcula el número de veces que a un éxito le sigue un éxito y el número de veces que a un éxito le sigue un fracaso así:

¿Os acordáis del problema de la carta del otro día? Lo extraje del libro Risk Savvy de G. Gigerenzer.

Uno de los grandes temas del libro es la distinción entre riesgo e incertidumbre. Se decanta por la perspectiva de Knight discutida en el enlace anterior: en situaciones de riesgo, la distribución de probabilidad es conocida (p.e., juegos de azar) y el aparataje probabilístico puede ser aplicado en su entera potencia matemática. En situaciones de incertidumbre, la situación es distinta y de poco o nada sirven los formalismos.