Funciones de densidad log-cóncavas

Las funciones de densidad log-cóncavas son aquellas cuyo logaritmo es una función cóncava. Por ejemplo, la normal: el logaritmo de su función de densidad es, constantes aparte, -x^2/2.

El producto de dos funciones de densidad log-cóncavas es log-cóncava: \log(fg) = \log f + \log g (y la suma de cóncavas es cóncava: calcula la segunda derivada). También lo son la suma de dos variables aleatorias cuyas funciones de densidad lo son (la demostración es consecuencia de esta desigualdad).

De hecho, el producto de dos funciones de densidad normales (no necesariamente unidimensionales) sigue siendo normal: la función de densidad resultante es la exponencial de una suma de formas cuadráticas, que es a su vez otra forma cuadrática. En concreto, el producto de las \exp((x-\mu_i) V^{-1}_i (x-\mu_i)) es \exp((x-\mu) V^{-1} (x-\mu)) donde V = \left( \sum_i V_i^{-1} \right)^{-1} y \mu = V \left(\sum_i V_i^{-1} \mu_i \right).