Verosimilitud

En Some Class-Participation Demonstrations for Introductory Probability and Statistics tienen los autores un ejemplo muy ilustrativo sobre lo lo relativo (en oposición a fundamental) del papel de la máxima verosimilitud (y de la estadística puntual, en sentido lato) cuando la estadística deja de ser un fin en sí mismo y se inserta en un proceso más amplio que implica la toma de decisiones óptimas.

Se trata de un ejemplo pensado para ser desarrollado en una clase. Consiste en un juego en el que el profesor muestra a los alumnos un bote con monedas y les propone que traten de acertar su número exacto. En tal caso, los alumnos se la quedan y pueden repartirse el contenido.

El caso es el siguiente: alguien hace la colada y al ir a tender, observa que los 11 primeros calcetines que saca de la lavadora son distintos. El problema consiste en estimar el número de pares de calcetines en la lavadora.

La solución por máxima verosimilitud es infinitos calcetines. En efecto, cuantos más calcetines hubiese en la lavadora, más probable es obtener 11 de ellos distintos. Y la respuesta es tremendamente insatisfactoria.

Aquí, contracorriente. Dejamos aparcado el big data y le damos a lo que nos da de comer. Entre otras cosas, este pequeño experimento con muy pequeños datos (¿tres?).

La aplicación es real. Y los datos pequeños porque son carísimos.

Se puede suponer que tienen distribución beta de parámetros desconocidos. Nos interesa la media muestral de unas pocas observaciones: dos, tres, cuatro,… En particular, qué distribución tiene.

Si fuesen muchos, podríamos aplicar el teorema central del límite (que funciona estupendamente incluso con valores no muy grandes). Pero la suma de pocas observaciones beta no tiene una distribución con nombre (que yo sepa). Pero podemos usar un viejo truco (parecido al de la aproximación de Welch para el número de grados de libertad de la prueba de Student cuando las varianzas son desiguales):

Lo cuento luego, después del (por mí traducido) contexto:

La incertidumbre del conocimiento humano puede serla sobre los sucesos o de las causas de los sucesos; si se nos asegura, por ejemplo, que una urna encierra bolas blancas y negras en una proporción dada y se pregunta por el color de una bola extraída al azar, el suceso es incierto, pero la causa de la que depende la probabilidad de su existencia, es decir, la proporción de bolas blancas y negras, es conocida.

El problema en cuestión, que se ve, surgió durante la II Guerra Mundial, es el siguiente: se capturan tanques del enemigo y se anotan los números de serie, supuestos sucesivos. ¿Cuál es la mejor estimación del número total de tanques fabricados por el enemigo?

Si se capturan k, la distribución del máximo número observado, m, en función del número no observado (nuestro parámetro) de tanques es

$$ f(N;m,k)=\frac{\binom{m-1}{k-1}}{\binom{N}{k}}$$

y como esta función es decreciente en $latex N$, la estimación por máxima verosimilitud es $latex \hat{N} = m$.

Hace unos días recibí una consulta de una vieja amiga lingüista. Ella trabaja en algo que creo que se llama cocolocación: el estudio de palabras que aparecen o que tiendan a aparecer juntas en textos. Digamos que es algo así como una correlación o una regla de asociación.

Los lingüistas están muy interesados en ese tipo de fenómenos. Tradicionalmente (cada gremio tiene su librillo) usan la información mutua. Pero, al final, lo que tienen es una tabla de contingencia: situaciones en que aparece una, la otra, ambas o ninguna de las palabras.