Un resultado probabilístico contraintuitivo (parte I)

A elige dos números con una distribución de probabilidad cualquiera,

y los guarda ocultos. A B le deja ver uno al azar (sin pérdida de generalidad, el primero). Y B tiene que decidir si el que ve es el más alto de los dos (en cuyo caso, gana un premio, etc.). Veamos a B actuar de manera naive:

Dejemos a A y B jugar repetidamente a este juego:

Pues sí, como cabe esperar, B tiene una probabilidad de .5 de acertar en el largo plazo.

Sin embargo, B tiene una estrategia superior a la de elegir al azar:

Que me da una probabilidad de éxito aproximada del .65. La estrategia es la siguiente:

  1. B elige una distribución de probabilidad cualquiera (mañana matizaré qué levísimas restricciones operan sobre esta otra distribución)
  2. B toma un valor al azar y de acuerdo con dicha distribución.
  3. Si el valor observado o > y, se queda con o; si no, se decanta por el otro que no ha visto.

Y funciona, tú.

Todo junto (por si quieres probar con otras distribuciones):

Mañana, más sobre este problema.

4 comentarios sobre “Un resultado probabilístico contraintuitivo (parte I)

  1. Guido 10 octubre, 2018 10:18

    Is this statistical magic?

  2. Vardio 10 octubre, 2018 12:26

    Qué tipo de brujería es esta Don Carlos?

  3. Jacques 10 octubre, 2018 20:44

    ¿Ambas distribuciones tienen la misma esperanza? Si es así, no me parece tan contraintuitivo. Me enseñas un número y si es “alto” te lo compro, y si no me arriesgo a ver el otro. Y defino “alto” como que ha pasado una eliminatoria contra otra distribución de esperanza parecida. Podría hacerlo determinista y tendría “¿Cuál es el punto de corte a partir del cual debo comprar el número que me enseñas para maximizar mi ganancia?” ahí sí que habría que especificar la distribución.

  4. Carlos J. Gil Bellosta 10 octubre, 2018 20:57

    No tienen que tener la misma esperanza. Obviamente, si tienen la misma esperanza es mejor (por lo que tú cuentas). Pero podrías usar una normal centrada en 1 y otra en -1 y todavía obtendrías una ventaja. A la inversa, mañana quedará demostrado que hay combinaciones de distribuciones con la misma esperanza donde el segundo jugador no tiene ventaja.

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