Relevante para entender la «maldición de la dimensionalidad»

La gráfica

representa el volumen de la esfera unidad (eje vertical) en el espacio de dimensión x (eje horizontal).

Más aquí (de donde procede la gráfica anterior).

Moraleja: en dimensiones altas, hay pocos puntos alrededor de uno concreto; o, dicho de otra manera, los puntos están muy alejados entre sí. Por lo que k-vecinos y otros…

2 comentarios sobre “Relevante para entender la «maldición de la dimensionalidad»

  1. Santiago 5 septiembre, 2019 10:10

    ¡Qué curioso! Por un momento me ha convencido. Parece que, en efecto, la dimensión 5 es una especie de máximo para el volumen de una esfera de dimensión d.

    El truco es que eso solamente es válido para la esfera de radio 1. Pero el volumen de la esfera es eso multiplicado por r**d. El 1 es arbitrario, siempre podemos usar otra unidad donde ese 1 sea, por ejemplo, un 2 (medios metros, por decir algo).

    Efectivamente, volumes(r = 1)da lo que dice la página
    [1] 1.000000 2.000000 3.141593 4.188790 4.934802 5.263789 5.167713 4.724766 4.058712 3.298509 2.550164

    pero volumes(r = 2)nos da:
    [1] 1.00000 4.00000 12.56637 33.51032 78.95684 168.44125 330.73362 604.77004 1039.03030 1688.83656 2611.36798

    El código.

    sphere_volume <- function(r, dimension = 3) {

    k <- function(dimension) {
    if (dimension == 0) {
    return (1)
    } else {
    if (dimension == 1) {
    return (2)
    } else {
    return (2*pi*k(dimension – 2)/dimension)
    }
    }
    }

    return (k(dimension)*r**dimension)
    }

    volumes <- function(r) sapply(0:10, function(d) sphere_volume(r, d))

  2. Carlos J. Gil Bellosta 13 septiembre, 2019 0:51

    Ya, ¿pero y si tomas r = 1/2? En realidad, comparas la esfera de radio r con el cubo de radio r. Que viene a ser lo mismo que estudiar esferas de radio 1. Lo que nos enseña la cosa es que el volumen de la esfera es una fracción cada vez menor de dicho cubo.

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