Mezclas de vectores (I): casi todas las matemáticas de la cosa

Arranco con esta una serie que estimo que será de tres entradas sobre cómo mezclar vectores con una aplicacioncilla que tal vez sorprenda a alguno.

Comenzaré fijando un vector x_1 \in R^n y una función casi biyectiva f_1:R^n \mapsto R^m todo lo suave (continua, diferenciable, etc.) que nos dé la gana. Casi no es un concepto matemático; el concepto propiamente matemático usaría el prefijo cuasi-, pero espero que se me permita seguir y prometo que lo que quiero dar a entender quedará claro más adelante.

Construyo entonces la función h(x, x_1, f_1) = \|f_1(x) - f_1(x_1) \| y busco su mínimo (que bien pudiera ser local) mediante cualquier técnica al uso. Cabe esperar que ese mínimo, \hat{x}_1 sea parecido a x_1. Si la función fuese biyectiva y el método de minimización perfecto, \hat{x}_1 = x_1 y todo sería aburridoramente perfecto. Afortunadamente para lo que sigue, no va a ser así el caso.

Tomo un segundo vector x_2 y otra función f_2 similar a la anterior y defino, para un valor \alpha \in [0,1] la función

h(x, \alpha, x_1, f_1, x_2, f_2) = \alpha h(x, x_1, f_1) + (1-\alpha) h(x, x_2, f_2)

¿Qué cosa esperamos de su mínimo? Tiene que ser algo que se parezca a la vez a x_1 y a x_2, una especie de mezcla de ambos vectores.

¿No es increíble? No, no lo es en absoluto. Pero mostraré mañana cómo se le puede sacar punta a la idea de una manera sorprendente.

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