La media, medidas de centralidad y distancias

El problema de hoy viene sugerido por la manera de encontrar un valor central —una medida de centralidad— en una serie de números $x_1,\dots, x_n$ . A uno se le viene a la mente la media de dichos puntos, por supuesto. Pero la media no es sino el valor $\theta$ que minimiza

$\sum_i (x_i - \theta)^2.$

En lugar de minimizar la distancia al cuadrado entre ese punto central y los de la serie, podríamos usar otras funciones. Es sabido que si tratamos de minimizar

$\sum_i |x_i - \theta|$

el valor resultante es la mediana, otra medida de centralidad común. Y pueden usarse otras.

El problema que planteo hoy (y del que no sé si tengo clara la solución) es el siguiente: ¿se pueden caracterizar las distancias que resultan en la media como medida de centralidad? Por ejemplo, además de $f(x)=x^2$ , también están $f(x)=c x^2$ , donde $c>0$ . Pero, ¿habrá más?

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