El error en las encuestas: cuentas en una servilleta

Bien escondidita en las encuestas que se publican, puede encontrarse a veces una ficha técnica. Y esta suele contener una frase de esta guisa: Partiendo de los criterios del muestreo aleatorio simple, para un nivel de confianza del 95 % (que es el habitualmente adoptado) y en la hipótesis más desfavorable de máxima indeterminación (p=q=0.5), el margen de error de los datos referidos al total de la muestra es de 3.2 puntos.

(Nota: la frase está extraída de aquí y hace referencia a una encuesta en la que no se usa el muestreo aleatorio simple y en cuyo original, el nivel de confianza habitualmente aceptado —errata, supongo— figura como del 99.5 % en lugar del 95 %; pero, total, tanto da: nadie lee y a nadie le importa la liturgia de la ficha técnica).

En fin, sigamos.

La cuestión es que el otro día una colega me preguntó lo siguiente: efectivamente, el margen de error en sus datos era, creo recordar, del 4 % bajo la consabida hipótesis conservadora de p=q=0.5. No obstante, su p estimada era de 0.14, muy lejos del 0.5 de la máxima indeterminación. Y su pregunta era: ¿cuál sería el margen razonable de error en ese caso?

El resto de los datos, a continuación:

N <- 546   # número de sujetos en la población
n <- 182   # número de sujetos muestreados

p <- 0.14  # proporción estimada de sujetos X

x <- ceiling(n * p)  # número obtenido de sujetos X en la muestra

Llamemos \theta a la variable (desconocida, aleatoria) que indica el número de individuos X en la población. Lo que hemos obtenido en la muestra es una visión indirecta de \theta, típicamente representada como

p | \theta.

Esta expresión muestra cómo la proporción (conocida, porque se mide sobre la muestra) de sujetos X depende de la variable de interés \theta. Y nos interesa conocer el rango de valores de \theta compatible con el valor observado, p.

Para ello usaremos el teorema de Bayes,

P(\theta | x) \propto P(x | \theta) P(\theta)

y dada nuestra ignorancia a priori sobre $P(\theta)$, bien podemos suponerla uniforme (esto es, independiente de \theta), con lo cual

P(\theta | x) \propto P(x | \theta).

Y ahora

n.reales <- 0:N
probs <- sapply(n.reales, function(y) dhyper(x, y, N-y, n, log = FALSE))
probs <- probs / sum(probs)

calcula probs, el vector de probabilidades correspondiente a la distribución a posteriori de \theta sobre 0:N, que tiene la siguiente pinta:

Haciendo

tmp <- n.reales[order(probs)]
tmp <- tmp[cumsum(sort(probs)) > 0.05 ]
range(tmp) / N * 100
# 10.43956 18.68132

llegamos a la conclusión de que (con nuestras hipótesis) tenemos garantizado al 95% que el valor verdadero de la proporción estará confinado en el intervalo [0.104, 0.187]: el margen de error es del 4%.

Y cambiando el valor de p, también que el margen de error en el caso de máxima indeterminación no bajaría (mucho) del 6 % (y no del 4 % que habían anunciado: fíate de las colegas, fíate).

Un comentario sobre “El error en las encuestas: cuentas en una servilleta

  1. Ana Lucia 17 mayo, 2013 5:36

    Carlos.

    Gracias por la ayuda con este tema!!

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