El problema de la media, el problema con la media

Debiera comenzar asumiendo y reconociendo mis deficiencias pedagógicas a la hora de elegir y presentar el problema sobre la media de la semana pasada. Espero que quienes hicieron comentarios al respecto —y quienes los pensaron sin escribirlos— no reciban esta entrada con el «buuuuu» que tal vez merezco.

El problema de la media es más bien un problema con la media. No es en él tan interesante la solución —y nadie debería pensar que en estas páginas planteamos problemas rancios como aquéllos sobre cuadernos, lapiceros y pesetas con que entretuvimos alguna tarde de la infancia— como su discusión.

En la práctica, el beneficio por barril sería superior a los 25 dólares que podría calcular una vieja usando su proverbial cuenta. Y es porque quien posee un pozo de petróleo —así como quien opera una central eléctrica o, incluso, vende baratijas en la playa— tiene la opción de ajustar en mayor o menor medida la producción a los precios ejercitando sus llamadas opciones reales, similares a sus homólogas en el ámbito financiero. Y la opción encierra un valor, como todo derecho exento de obligaciones.

Que me excusen la trampa —si se la quiere llamar así— quienes ejercitaron la neurona la semana pasada. Pero que tampoco piensen que el tema es baladí: el ejemplo está adaptado del libro The flaw of averages, que discute paradojas y errores que derivan del uso indiscriminado de la media como compendio unidimiensional y estático de la incertidumbre. En referencia al problema planteado, el libro explica cómo las normas contables indican que las compañías petroleras deben valorar sus reservas multiplicando su volumen por el precio medio del crudo en un determinado periodo, ignorando el seguramente jugoso valor de la correspondiente opción real.

Sam Savage, su autor, llama ley fuerte de la imperfección de la media a un error que, en algunas de sus manifestaciones y en términos matemáticos, consiste en confundir la esperanza de una función de una variable aleatoria, E(\phi(X)), con la función de la esperanza, \phi( E(X) ). En el contexto de las opciones reales, \phi es una función convexa y la desigualdad de Jensen (¡la madre de todas las desigualdades!) indica que en tales casos,

\phi( E(X) ) \le E(\phi(X)).

El interesado en ilustrarse con más casos en que se manifiesta este error (y algunos otros) debe saber que hombres malos subieron el libro a páginas de intercambio de ficheros, gracias a los cuales podrá consultarlos por poco precio. Y por el mismo, aprender acá otro, oportunísimo, que falta en aquél.

Y es que en el programa electoral de uno de los partidos que se presentaban a las elecciones autonómicas de mi región de adopción —y cuya presidenta, de la esperanza, sabe mucho— indicaba como uno de los grandes hitos de su gobierno el haber ahorrado cierta cantidad de dinero en promedio a los ciudadanos a través de bajadas de impuestos. Habida cuenta de que éstos son —aunque cada vez menos—, progresivos, la función que determina los impuestos que ha de satisfacer un ciudadano, \phi, en función de sus ingresos, X, es convexa. La cifra a la que se refería pues es E(\phi(X)), superior, como ya sabemos, a \phi( E(X) ), el ahorro correspondiente a un ciudadano medio. No es por tanto de extrañar la matización que de estas cifras realizaba un partido de izquierda en su correspondiente programa indicando cómo, debido al enorme sesgo en los ingresos y a la progresividad de los impuestos, el beneficio fiscal había recaído desproporcionadamente sobre las clases más pudientes.

Dado que la media de los ingresos es superior a su mediana, la discusión anterior indica que, en democracia, serían incompatibles bajadas de impuestos con un conocimiento generalizado de la desigualdad de Jensen. Por ello, nada convendría más a quienes contemplan con antipatía los recientes acontecimientos electorles que el que esta entrada mía de hoy alcanzase pronto los 45 millones de visitas.

9 comentarios sobre “El problema de la media, el problema con la media

  1. Emilio 7 junio, 2011 21:27

    jajajajaja, ya me parecía que había gato encerrado en ese problema de la semana jajajaja

    Y ahora, una respuesta adecuada a esta entrada, sobre todo pensando en mantener mi honor y en recuperar la esperanza 🙂

    Nadie pone en duda que las matemáticas (esperanza, leyes fuertes, leyes débiles, teoremas, etc.) es el culmen del método científico. Y el autor aprovecha esta creencia para afirmar que ‘en democracia, serían incompatibles bajadas de impuestos con un conocimiento generalizado de la desigualdad de Jensen’. Es decir, que si las matemáticas dicen A, todo el mundo tiene que decir A.

    Este enfoque de gobernar la sociedad mediante el método científico ya se ha experimentado en la realidad. El caso más claro recibe el nombre de ‘socialismo científico’, más conocido socialmente como marxismo-leninismo. Y creo que todos sabemos cómo ha acabado esa forma de diseñar la sociedad…

    En democracia, lo único que funciona (de vez en cuando), es el Teorema Central del Límite … que asegura que no hace falta que visiten esta página 45 millones de personas, si no sólo unas poquitinas… 🙂

  2. datanalytics 7 junio, 2011 21:50

    @Emilio
    No, no digo que «todo el mundo». Sólo los que queden por debajo de la mediana, que como soy mayoría, deberían salirse con la suya en las elecciones.

    ¡Es igualmente obvio (y se deduce de mi argumentación) que quienes quedan (lo suficientemente) por encima de la mediana y conocen la desigualdad de Jensen deberían votar (y muchos lo hacen) a favor de bajadas de impuestos!

  3. Emilio 7 junio, 2011 23:41

    Tienes toda la razón con tu matización. ¡Gracias!

    Ahondo un poco en la cuestión económica de los impuestos, de la medias, medianas y número de personas. Seguro que no es del todo correcto las cuentas de la vieja que hago, pero me ha picado la curiosidad.

    Según el Boletín Económico del Banco de España de diciembre de 2010, de acuerdo con la Encuesta Financiera de las Familias 2008 (EFF2008), la renta media de los hogares españoles a finales de 2007 es de 33.600 €, y la renta mediana, de 26.000 €. Es decir, que el 50% de las familias, gana menos de 26.000.

    Por lo tanto, según esto, deberían ser mayoría los que rechacen la bajada de impuestos.

    Pero si tenemos en cuenta, que aproximadamente hay 7 millones de contribuyentes exentos de pagar IRPF (tal como aparece en la página del partido gobernante, apartado ‘España, un país con más riqueza’, epígrafe impuestos). Que hay unos 14 millones de declaraciones individuales de IRPF y 4 millones de declaraciones conjuntas, lo que hacen 22 = 14 + 2 * 4 millones de personas que pagan impuestos (fuente INE). Lo que implica que el 24% de los contribuyentes no pagan el IRPF.

    La idea que entresaco gira en torno a que las personas que realmente pagan impuestos y su renta es inferior a la mediana suponen sólo la mitad de los que sí pagan impuestos y su renta es superior a la mediana.

  4. jbm 28 junio, 2011 20:58

    No es necesaria conocer la desigualdad de Jensen. Lo decía ya Keynes en los años 30. Lo verdaderamente beneficioso para la sociedad es aumentar gasto público y no bajar impuestos. Pero ya sabemos que Espe es neoliberal.

  5. datanalytics 29 junio, 2011 3:16

    @jbm
    Esta bitácora no es política y a su autor los temas económicos le vienen grandes. Le interesa más la lógica y la coherencia de la argumentación y el papel de las matemáticas y la estadística en ella.

    Si no, cree, pueden llegarse a soluciones simplistas: ¿hasta dónde diría Keynes que habría que subir los impuestos? ¿Le haría feliz un tipo único de impuesto sobre la renta del 101%?

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