Bootstrap bayesiano

Estadística, R

Hoy voy a hablar de esa especie de oxímoron que es el el bootstrap bayesiano. Comenzaré planteando un pequeño problema bien conocido: tenemos números $latex x_1, \dots, x_n$ y hemos calculado su media. Pero nos preguntamos cómo podría variar dicha media (de realizarse otras muestras).

La respuesta de Efron (1979) es esta:

replicate(n, mean(sample(x, length(x), replace = TRUE)))

Es decir, crear muestras de $latex x_i$ con reemplazamiento y hacer la media de cada una de ellas para obtener su presunta distribución (o una muestra de la presunta distribución de esa media).

Lo anterior puede replantearse así:

  • Obtener muchas muestras de enteros mayores que o iguales a cero que sumen n.
  • Para cada muestra, $latex n_{i1}, \dots, n_{in}$ calcular $latex 1/n \sum n_{ij}x_j$

Dos años después, a Rubin (1981) se le ocurrió el bootstrap bayesiano que consiste, esencialmente, en relajar la condición de que los pesos sean enteros. Es decir, se le ocurrió reemplazar la línea de código de Efron por

library(gtools)
rdirichlet(n, rep(1, length(x))) %*% x

que viene a ser $latex \sum p_{ij}x_j$ donde $latex \sum_j p_{ij} = 1$ y $latex p_{ij} \ge 0$. (Nótese que la llamada gtools::rdirichlet(1, rep(1,5)) de vuelve 5 números positivos que suman uno). Es decir, la expresión anterior es una versión suavizada del tal vez demasiado rotundo muestreo con reemplazo: a veces usas más un valor, a veces menos.

Y sí, de eso a que la técnica sea bayesiana yo veo un mundo. Pero bueno, alguna gente vive de encontrar interpretaciones bayesianas a todas las cosas, matar un montón de árboles para ponerlo todo en negro sobre blanco, llamar a todo el proceso investigación básica y facturármelo vía IRPF. Pero esa es otra historia.

¡Ah! Pero hay individuos aún peores. Conozco uno, uno de esos bayesianos de la investigación básica, que mató árboles a mansalva para explicar que el bayesianismo es el culmen de lo habido y por haber, que él iba a solucionar de una vez por todas el problema de indentificar la distribución de esas medias aplicando esas técnicas de las que él es profeta y luego, ¡qué escándalo!, en la última diapositiva pinta un trozo de código de R que es una versión torpe e ineficiente de la versión frecuentista del bootstrap. ¡Carajo!