Linked, de Barabasi, capítulo I

No sé si seguir leyendo libros. Sus autores los llenan de letras. Y es un lujo poder disponer del tiempo de leerlas todas.

Uno de esos libros llenos de letras es Linked, de Barabasi. Es un libro estupendo y recomendable. Pero podría ocupar 20 páginas si el autor fuese un poco más escueto y no se empeñase de llenarlo todo de anécdotas y colores.

Su primer capítulo trata sobre las redes sociales aleatorias, también conocidas como redes de Poisson o de Erdös-Rényi. Una de tales redes aleatorias es una colección de n nodos y enlaces entre ellos de manera que la probabilidad de que dos nodos x e y al azar estén unidos es p.

Dos propiedades matemáticas de ellas cita Barabasi. Hoy discutiré esas dos y una más.

La primera es que el grado de los nodos sigue una distribución de Poisson —y de ahí el nombre—. Efectivamente, la probabilidad de que un nodo tenga grado k tiene una distribución binomial B(n,p) y siempre que z = np sea pequeño, puede aproximarse por una distribución de Poisson de parámetro z.

El código

n.nodos <- 1000

build.network <- function( n.nodos, n.enlaces ){
  rs <- matrix( sample( n.nodos, 2 * n.enlaces, replace = T), 
                nrow = n.enlaces, ncol = 2  )
  rs <- subset( rs,  ! rs[,1] == rs[,2] )

  if( nrow( rs ) < n.enlaces )
    return( rbind( rs , build.network( n.nodos, n.enlaces - nrow( rs ) ) ) )

  rs
}

link.x.node <- function( z, n.nodos = 1000 ){
  p <- z / n.nodos

  n.enlaces.potenciales <- n.nodos * ( n.nodos - 1 ) / 2

  # cuantos enlaces existen?
  n.enlaces <- rbinom( 1, n.enlaces.potenciales, p )  
  kk <- build.network( n.nodos, n.enlaces )
  kk <- table( table( kk ) )
  cbind( z, as.numeric( names( kk )), kk )
}

node.dist <- function( z, n.iter ){
  res <- replicate( n.iter, link.x.node(z, n.nodos = n.nodos) )
  res <- mapply( cbind, res, 1:n.iter )
  res <- data.frame( do.call( rbind, res ) )
  colnames( res ) <- c( "z", "n.enlaces", "count", "iter" )

  boxplot( res$count ~ res$n.enlaces )
  tmp <- unique( res$n.enlaces )
  lines( tmp, n.nodos * dpois( tmp, lambda = z ), col = "red" )

  res
}

res <- node.dist( 5, 100 )

crea 100 redes aleatorias con n.nodos nodos y z = 5. Luego cuenta cuántos nodos tienen grado k y, finalmente, crea una gráfica similar a

que es un diagrama de cajas del grado sobre el que se superpone el número esperado de nodos de grado k si se acepta que su distribución es de Poisson. Como puede apreciarse, coinciden. Pero ya lo sabíamos porque conocíamos de viejo la relación entre las distribuciones de Poisson y la binomial.

La segunda propiedad de este tipo de redes es más enjundiosa. Tiene que ver con lo siguiente: en una red aleatoria, ¿existirán varias componentes inconexas? ¿o todos los nodos acabarán unidos a todos los nodos?

Supongamos que existe una componente gigante G. ¿Cuál será la probabilidad q de que alguno de los nodos x no pertenezca a ella? Si x es un nodo con k vecinos x_1, \dots, x_k, entonces

q = P( x \not\in G ) = P( x_1, \dots, x_k \not\in G)

y dizque (yo no tengo aún claro el motivo: no acabo de ver por qué son sucesos independientes)

P( x_1, \dots, x_k \not\in G) = \prod P( x_i \not\in G ) = q^k

Si un nodo no pertenece a G, tampoco lo harán ninguno de sus vecinos. De ahí q sea igual a

q=\sum_{k=0}^\infty q^k p_k

y que, en general,

q = \sum_{k=0}^\infty q^k z^k e^{-z} / k! = e^{-z} \sum_{k=0}^\infty (qz)^k / k! = e^{-z} e^{zq}.

De ahí se obtiene la ecuación q = \exp^{-z( 1-q )} y si s = 1-q es la probabilidad de que un nodo pertenezca a G, se obtiene s = 1 - \exp^{-zs}.

¿Tiene soluciones esta ecuación entre 0 y 1? ¿Para qué valores de z? Existe una raíz trivial s = 0: en tal caso el término de la izquierda y el de la derecha valen 0. En 1, el término de la izquierda vale 1 y el de la derecha, menos de uno.

La siguiente figura ilustra la situación:

En ella se representa el término de la izquierda,

curve( I, 0, 1, xlab = "", ylab = "" )

como una línea negra sólida y luego el término de la derecha con los valores z = 2

curve( 1 - exp( - 2 * x), add = T, lty = 2 )

y z = 0.5

curve( 1 - exp( - 0.5 * x), add = T, lty = 2 )

con líneas punteadas. Como podrá comprobar quién aún se derivan funciones, la derivada del término de la derecha en 0 es mayor o menor que uno dependiendo de si z es mayor o menor que 1 y eso obliga a que haya o no raíz de la ecuación en (0,1).

En resumen, cuando z < 1 no existe componente gigante y la red es una especie de sopa de letras. Pero si z > 1, aparece una supercomponente que contiene un porcentaje de los nodos dado por la solución de la ecuación anterior. Raíz que puede obtenerse con R así:

foo.optim <- function( x, z = 3 ) ( x - 1 + exp( -z * x) )**2
optimize( foo.optim, z = 2, interval = c(0,1))$minimum
optimize( foo.optim, z = 1.5, interval = c(0,1))$minimum

Para terminar esta larga entrada, vamos a ver si podemos fiarnos o no de Erdös. Porque una cosa es que este hombre nos diga que el tamaño de la componente grande es s y otra distinta, que lo sea.

Para eso vamos a crear muchas redes aleatorias con distintos valores de z y calcular el tamaño de la componente más grande para después compararlo con el calculado teóricamente. Y efectivamente, corriendo

library( igraph )
 
prop.giant.component <- function( z, n.nodos = 1000 ){ 
  p <- z / n.nodos
  n.enlaces.potenciales <- n.nodos * ( n.nodos - 1 ) / 2
  n.enlaces <- round( n.enlaces.potenciales * p )
  my.graph <- build.network( n.nodos, n.enlaces )
  my.graph <- graph.data.frame( my.graph )
 
  kk <- max( clusters( my.graph )$csize )
  kk / n.nodos
}
 
# prop.giant.component( 2 )
 
foo <- function( z, n.iter = 100 ) 
  replicate( n.iter, prop.giant.component( z ) )
 
zetas <- seq( 0.1, 5, by = 0.2)
 
res <- sapply( zetas, foo )
 
kk <- data.frame( res = as.numeric( t( res ) ), zetas = zetas ) 
 
plot( kk$zetas, kk$res, xlab = "", ylab = "" )
 
zetas <- unique( kk$zetas )
zetas <- zetas[ zetas > 1 ]
 
foo.optim <- function( x, z = 3 ) ( x - 1 + exp( -z * x) )**2
foo <- function( zeta ) optimize( foo.optim, z = zeta, interval = c(0,1))$minimum
theorical.sizes <- sapply( zetas, foo )
 
lines( zetas, theorical.sizes, col = "red")

se obtiene

con lo que nos damos por satisfechos y aguardamos a disponer de otro ratillo de asueto para sacarle la miga al capítulo II.